已知圆O的半径为1,PAPB为该圆的两条切线,A.B为两切点,那么向量PA·向量PB的最小值是多少?请问：这是哪年的哪里的高考题?

Question

已知圆O的半径为1,PA PB为该圆的两条切线,A.B为两切点,那么向量PA·向量PB的最小值是多少?
请问：这是哪年的哪里的高考题?

Answer 1

主要考察向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考察最值的求法——判别式法,同时也考察学生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
图中第一步需要解释的有两点
第一点.向量公式：向量a·向量b=|a|��|b|��cos〈a,b〉(夹角）
第二点.PA=PB的原因：A,B为切点所以得到 ∠PAO ∠PBO为直角
△PAO △PBO 为直角三角形 且全等（相同斜边 相等的直角边）
或者切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
②三角形的余弦定理,例如三角形ABC中,A为内角,abc为对应的边,cosA=(b+c-a)/2bc
③∵|PA|=|PB| ∴|PA|的平方可与分子PA��PB约去,分母为2PA-AB
④勾股定理：PA=OP-OA,OA=R=1
设直线AB与X轴的交点为M,有 AM=OA-OM=1-d,AB=2AM
⑤化简④,再用均值不等式,公式：a+b≥2ab
⑥OA=d��OP 射影定理
其实可以这样写,更加清楚
设PA=PB=X（x＞0）,∠APO=α,则∠APB=2α,有勾股定理得PO=根号（1+x^2）,
sinα=1/根号（1+x^2）,
向量PA·向量PB=|PA|·|PB|cos2α=x^2（1-sin^2α）=/1+x^2=（x^4-x^2）/（1+x^2）,令向量PA·向量PB=y,则y==（x^4-x^2）/（1+x^2）,
即x^4-（1+y）x^2-y=0,由x^2是实数∴△=^2-4×1×（-y）≥0,y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
故（向量PA·向量PB）min=-3+2√2