曲线y=1x的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？

Question

曲线y=(1)/(√(x))的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？

Answer 1

求导y′＝−(1)/(2)x−(3)/(2)，则切点P(a，(1)/(√(a)))处的切线方程为
y−(1)/(√(a))＝−(1)/(2√(a3))(x−a)
切线与x轴和y轴的交点分别为Q（3a，0）和R(0，(3)/(2√(a)))
于是，三角形ROQ的面积为
S＝(1)/(2)•3a•(3)/(2√(a))＝(9)/(4)√(a)
当切点沿x轴方向趋于无穷远时，
有

lim

a→+∞

S＝+∞