如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
设BD=x，则OD=OA=x，OB=√(2)x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC²+BC²=AB²，
∴2（x+1）²=（√(2)x+x）²，
∴x=√(2)，
∴BD=OD=√(2)，
∴图中阴影部分的面积=S_△BOD-S_扇形DOE=(1)/(2)×√(2)×√(2)-(45•π×(√(2))2)/(360)=1-(π)/(4)．