已知抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧M

Question

已知抛物线C：x²=2py（p>0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．

（1）求p的值；
（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧

MN

的长度为S，当直线l绕F旋转时，求(S)/(|AB|)的最大值．

Answer 1

（1）抛物线C：x²=2py（p>0）的焦点为F，F(0，(p)/(2))，
当l的倾斜角为45°时，l的方程为y=x+(p)/(2)
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=x+(p)/(2)

x2=2py

，得x²-2px-p²=0，
x₁+x₂=2p，y₁+y₂=x₁+x₂+p=3p，得AB中点为D(p，(3)/(2)p)…（3分）
AB中垂线为y-(3)/(2)p=-(x-p)，
x=0代入得y=(5)/(2)p=5．
∴p=2…（6分）
（2）设l的方程为y=kx+1，代入x²=4y得x²-4kx-4=0，
|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4，
AB中点为D（2k，2k²+1）
令∠MDN=2α，S=2α•(1)/(2)|AB|=α•|AB|，
∴(S)/(|AB|)=α…（8分）
D到x轴的距离|DE|=2k²+1，
cosα=(|DE|)/((1)/(2)|AB|)=(2k2+1)/(2k2+2)…（10分）     
当k²=0时cosα取最小值(1)/(2)，α的最大值为(π)/(3)．
故(S)/(|AB|)的最大值为(π)/(3)．…（12分）