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已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45°时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).(1)求p的值;(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧M

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已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45°时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).
作业帮
(1)求p的值;
(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧
MN
的长度为S,当直线l绕F旋转时,求
S
|AB|
的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,F(0,
p
2
),
当l的倾斜角为45°时,l的方程为y=x+
p
2

设A(x1,y1),B(x2,y2),
y=x+
p
2
x2=2py
,得x2-2px-p2=0,
x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中点为D(p,
3
2
p)…(3分)
AB中垂线为y-
3
2
p=-(x-p),
x=0代入得y=
5
2
p=5.
∴p=2…(6分)
(2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,
|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,
AB中点为D(2k,2k2+1)
令∠MDN=2α,S=2α•
1
2
|AB|=α•|AB|,
S
|AB|
=α…(8分)
D到x轴的距离|DE|=2k2+1,
cosα=
|DE|
1
2
|AB|
=
2k2+1
2k2+2
…(10分)     
当k2=0时cosα取最小值
1
2
,α的最大值为
π
3

S
|AB|
的最大值为
π
3
.…(12分)
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