如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，cos∠BFA

Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．
（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，cos∠BFA=(2)/(3)，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）BD是⊙O的切线．理由如下：
连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO，
∴∠ABO+∠C=90°，
∵∠DBA=∠C，
∴∠ABO+∠DBA=90°，
∴OB⊥BD，
∴DB是⊙O的切线；
（2）能．
在△ABF中，∠ABF=90°，
∴cos∠BFA=(BF)/(AF)=(2)/(3)，
∵∠E=∠C，∠EBC=∠CAE，
∴△EBF∽△CAF，
∴(S△BEF)/(S△ACF)=（(BF)/(AF)）²=(4)/(9)，
∴S_△ACF=(9)/(4)×10=(45)/(2)．