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如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且∠DBA=∠BCD.(1)根据你的判断:BD是⊙O的切线吗?为什么?.(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为10,cos∠BFA

题目详情
如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且∠DBA=∠BCD.
(1)根据你的判断:BD是⊙O的切线吗?为什么?.
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为10,cos∠BFA=
2
3
,那么,你能求出△ACF的面积吗?若能,请你求出其面积;若不能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)BD是⊙O的切线.理由如下:
连接OB,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠BAC+∠C=90°,
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠ABO,
∴∠ABO+∠C=90°,
∵∠DBA=∠C,
∴∠ABO+∠DBA=90°,
∴OB⊥BD,
∴DB是⊙O的切线;
(2)能.
在△ABF中,∠ABF=90°,
∴cos∠BFA=
BF
AF
=
2
3

∵∠E=∠C,∠EBC=∠CAE,
∴△EBF∽△CAF,
S△BEF
S△ACF
=(
BF
AF
2=
4
9

∴S△ACF=
9
4
×10=
45
2
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