如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧BC的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE=12AC；（2）求证：DPAP＝BD2AC2；（3）当AC=6，AB=10时，求切线PC的长．

Question

如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧

BC

的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；
（1）求证：OE=(1)/(2)AC；
（2）求证：(DP)/(AP)＝(BD2)/(AC2)；
（3）当AC=6，AB=10时，求切线PC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又D为

BC

中点，
∴OD⊥BC，OD∥AC，
又O为AB中点，
∴OE＝(1)/(2)AC；（4分）

（2）证明：连接CD，PC为切线，
由∠PCD=∠CAP，∠P为公共角，
∴△PCD∽△PAC，（6分）
∴(PC)/(PA)＝(CD)/(AC)，(PD)/(PC)＝(CD)/(AC)，
又CD=BD，
∴(DP)/(AP)＝(BD2)/(AC2)；（8分）

（3）∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，BE=4，OE=3，
∴DE=2，
∴BD²=DE²+BE²=20，（9分）
∴AD²=AB²-BD²=80，
∴AD=4√(5)，（10分）
CD=BD=2√(5)，
由（2）(DP)/(DP+4√(5))＝(5)/(9)，(DP)/(4√(5))＝(5)/(4)，
∴DP＝5√(5)，AP＝9√(5)，（11分）
∴CP²=DP•AP=45×5，
∴切线PC=15．（12分）