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某工地一传输工件的装置可简化为如图所示的情形,AB为一段足够大的14圆弧固定轨道,圆弧半径R=5.6m,BC为一段足够长的水平轨道,CD为一段14圆弧固定轨道,圆弧半径r=1m,三段轨道均光滑

题目详情
某工地一传输工件的装置可简化为如图所示的情形,AB为一段足够大的
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圆弧固定轨道,圆弧半径R=5.6m,BC为一段足够长的水平轨道,CD为一段
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4
圆弧固定轨道,圆弧半径r=1m,三段轨道均光滑.一长为L=2m、质量为M=1kg的平板小车最初停在BC轨道的最左端,小车上表面刚好与AB轨道相切,且与CD轨道最低点处于同一水平面.一可视为质点、质量为m=2kg的工件从距AB轨道最低点h高处沿轨道自由滑下,滑上小车后带动小车也向右运动,小车与CD轨道左端碰撞(碰撞时间极短)后即被粘在C处.工件只有从CD轨道最高点飞出,才能被站在台面DE上的工人接住.工件与小车的动摩擦因数为μ=0.5,取g=10m/s2,求:
作业帮
(1)若h为2.8m,则工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为多大?
(2)要使工件能被站在台面DE上的工人接住h的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)工件从起点滑到圆弧轨道底端B点,设到B点时的速度为VB,根据动能定理:
  mgh=
1
2
m
v
2
B
…①
工件做圆周运动,在B点,由牛顿第二定律得:
  N-mg=m
v
2
B
R
…②
由①②两式可解得:N=40N     
由牛顿第三定律知,工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为 N′=N=40N     
(2)①由于BC轨道足够长,要使工件能到达CD轨道,工件与小车必须能达共速,设工件刚滑上小车时的速度为v0,工件与小车达共速时的速度为v1,假设工件到达小车最右端才与其共速,规定向右为正方向,则对于工件与小车组成的系统,由动量守恒定律得:
  mv0=(m+M)v1
由能量守恒定律得:μmgL=
1
2
m
v
2
0
-
1
2
(m+M)
v
2
1
       ④
对于工件从AB轨道滑下的过程,由机械能守恒定律得:
   mgh1=
1
2
m
v
2
0
          ⑤
代入数据解得:h1=3m.                        
②要使工件能从CD轨道最高点飞出,h1=3m为其从AB轨道滑下的最大高度,设其最小高度为h′,刚滑上小车的速度为v0′,与小车达共速时的速度为v1′,刚滑上CD轨道的速度为v2′,规定向右为正方向,由动量守恒定律得:
mv0′=(m+M)v1′…⑥
由能量守恒定律得:
   μmgL=
1
2
m
v
′2
0
-
1
2
M
v
′2
1
-
1
2
m
v
′2
2
   ⑦
工件恰好滑到CD轨道最高点,由机械能守恒定律得:
  
1
2
m
v
′2
2
=mgr     ⑧
工件在AB轨道滑动的过程,由机械能守恒定律得:
   mgh′=
1
2
m
v
′2
0
           ⑨
联立.⑥⑦⑧⑨,代入数据解得:h′=
18
7
m     
综上所述,要使工件能到达CD轨道最高点,应使h满足:
18
7
m<h≤3m.
答:(1)若h为2.8m,则工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为40N.
(2)要使工件能被站在台面DE上的工人接住h的取值范围是
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m<h≤3m.