（2014•嘉定区一模）如图所示，由倾角45°光滑斜面和半径R的3/4光滑圆周组成的轨道固定在竖直平面内，斜面和圆周之间有小圆弧平滑连接．一小球以一定的初速度释放，始终贴着轨道内侧

Question

（2014•嘉定区一模）如图所示，由倾角45°光滑斜面和半径R的3/4光滑圆周组成的轨道固定在竖直平面内，斜面和圆周之间有小圆弧平滑连接．一小球以一定的初速度释放，始终贴着轨道内侧顺时针转动，则其通过斜面的时间最长可能是（　　）

A．2√(gR)
B．2√((R)/(g))
C．（2√(2)-2）√((R)/(g))
D．(√(10)−√(6))√((R)/(g))

Answer 1

如图，小球能在圆周内侧斜面做圆周运动，通过圆周最高点的速度v≥√(gR)，则根据动能定理，可求出小球到达斜面顶端时的速度v₁
  mgR=(1)/(2)m

v

2 1

−(1)/(2)mv2
可得：v1＝√(v2+2gR)
要求小球通过斜面时间最长，要求v₁尽可能小，根据速度v≥√(gR)的条件可知，v₁的最小值等于v1＝√(3gR)
物体在光滑斜面上下滑时，沿斜面下滑的加速度a=gsinθ=(√(2))/(2)g，已知小球在斜面上做匀加速运动的初速度v1＝√(3gR)，加速度a=(√(2))/(2)g，位移x=√(2)R，根据运动学公式可以求出小球通过斜面的最长时间为：
  t=(√(10)−√(6))√((R)/(g))，故D正确．
故选：D