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(2014•嘉定区一模)如图所示,由倾角45°光滑斜面和半径R的3/4光滑圆周组成的轨道固定在竖直平面内,斜面和圆周之间有小圆弧平滑连接.一小球以一定的初速度释放,始终贴着轨道内侧

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(2014•嘉定区一模)如图所示,由倾角45°光滑斜面和半径R的3/4光滑圆周组成的轨道固定在竖直平面内,斜面和圆周之间有小圆弧平滑连接.一小球以一定的初速度释放,始终贴着轨道内侧顺时针转动,则其通过斜面的时间最长可能是(  )

A.2
gR

B.2
R
g

C.(2
2
-2)
R
g

D.(
10
6
)
R
g
▼优质解答
答案和解析
如图,小球能在圆周内侧斜面做圆周运动,通过圆周最高点的速度v≥
gR
,则根据动能定理,可求出小球到达斜面顶端时的速度v1
  mgR=
1
2
m
v
2
1
1
2
mv2
可得:v1=
v2+2gR

要求小球通过斜面时间最长,要求v1尽可能小,根据速度v≥
gR
的条件可知,v1的最小值等于v1=
3gR

物体在光滑斜面上下滑时,沿斜面下滑的加速度a=gsinθ=
2
2
g,已知小球在斜面上做匀加速运动的初速度v1=
3gR
,加速度a=
2
2
g,位移x=
2
R,根据运动学公式可以求出小球通过斜面的最长时间为:
  t=(
10
6
)
R
g
,故D正确.
故选:D
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