图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的14圆周连接而成，它们的圆心O1、O2与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O2B沿水池的水面．一小滑

Question

图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的 (1)/(4) 圆周连接而成，它们的圆心O ₁ 、O ₂ 与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O ₂ B沿水池的水面．一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑．
（1）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O ₂ 的距离如何？
（2）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O ₁ 的连线与竖直线的夹角表示）．

Answer 1

（1）从A到O的运动过程中根据动能定理得：
mgR= (1)/(2) mv 2
解得：v=

2gR

设能脱离轨道的最小速度为v ₁
则有：mg= m(v12)/(R)
解得： v 1 =

gR

R= (1)/(2) gt 2
 X=v _o t            
联立得：

2

R ≤x≤2R    
（2）如图所示，设滑块出发点为P ₁ ，离开点为P ₂ ，按题意要求O ₁ P ₁ 、O ₂ P ₂ 与竖直方向的夹角相等，
设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P ₂ 处脱离滑道的条件是 m(v2)/(R) =mgcosθ
由机械能守恒  2mgR（1-cosθ）= (1)/(2) mv 2
联立解得   cosθ= (4)/(5)
答：（1）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O ₂ 的距离范围为

2

R ≤x≤2R；    
（2）小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的  cosθ= (4)/(5) 处．