如图为某生产流水线工作原理示意图．足够长的工作平台上有一小孔A，一定长度的操作板（厚度可忽略不计）静止于小孔的左侧，某时刻开始，零件（可视为质点）无初速地放上操作板的中

Question

如图为某生产流水线工作原理示意图．足够长的工作平台上有一小孔A，一定长度的操作板（厚度可忽略不计）静止于小孔的左侧，某时刻开始，零件（可视为质点）无初速地放上操作板的中点，同时操作板在电动机带动下向右做匀加速直线运动，直至运动到A孔的右侧（忽略小孔对操作板运动的影响），最终零件运动到A孔时速度恰好为零，并由A孔下落进入下一道工序．已知零件与操作板间的动摩擦因数μ₁=0.05，与工作台间的动摩擦因数μ₂=0.025，操作板与工作台间的摩擦因数μ₃=0.3．求：

（1）操作板做匀加速直线运动的加速度a的大小为多少？
（2）若操作板长L=2m，质量M=3kg，零件的质量m=0.5kg，重力加速度g=10m/s²．则操作板从A孔左侧完全运动到右侧的过程中，电动机至少做多少功？

Answer 1

（1）设零件向右运动距离x时与操作板分离，此过程历经时间为t，此后零件在工作台上做匀减速运动直到A孔处速度减为零，设零件质量为m，操作板长为L，取水平向右为正方向，对零件，有：
分离前：μ₁mg=ma₁，
分离后：-μ₂mg=ma₂
x=(1)/(2)a1t2
以后做匀减速运动的位移为：(L)/(2)-x=(0-(a1t)2)/(2a2)
对操作板，有：(L)/(2)+x=(1)/(2)at2
联立以上各式解得：a=((2μ1μ2+μ21)g)/(μ2)，
代入数据得：a=2m/s²；
（2）将a=2m/s²，L=2m代入(L)/(2)+(1)/(2)a1t2=(1)/(2)at2
解得：t=√((L)/(a-a1))=(2)/(√(3))s
操作板从A孔左侧完全运动到右侧的过程中，动能的增加量为：△Ek1=(1)/(2)M(√(2aL))2=12J
零件在时间t内动能的增加量为：△Ek2=(1)/(2)m(μ1gt)2=(1)/(12)J
零件在时间t内与操作板摩擦产生的内能为：Q1=μ1mg×(L)/(2)=0.25J
根据能量守恒定律，电动机做功至少为：W=Ek1+Ek2+Q1=12(1)/(3)J≈12.33J
答：（1）操作板做匀加速直线运动的加速度大小是2m/s²；
（2）若操作板长L=2m，质量M=3kg，零件的质量m=0.5kg，则操作板从A孔左侧完全运动到右侧