定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

Question

定长为3的线段AB的两端点在抛物线y ² =x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

Answer 1

设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），AB长度为3，
那么x ₁ =y ₁ ² ，x ₂ =y ₂ ² ，（1）
3 ² =（x ₂ -x ₁ ） ² +（y ₂ -y ₁ ） ² =（y ₂ ² -y ₁ ² ） ² +（y ₂ -y ₁ ） ² =（y ₂ -y ₁ ） ² [（y ₂ +y ₁ ） ² +1]（2）
线段AB的中点M（x，y）到y轴的距离为 x=(x1 + x2)/(2) =(1)/(2) (

y

21

+

y

22

)=(1)/(4) [( y 1 - y 2 ) 2 +(( y 1 + y 2 ) 2 +1)-1] ≥(1)/(4) [2

( y 1 - y 2 ) 2 ( ( y 1 + y 2 ) 2 +1)

-1]
由（2）得x≥ (1)/(4) (2×3-1)=(5)/(4) ，并且当（y ₁ -y ₂ ） ² =（y ₁ +y ₂ ） ² +1=3（3）
时x取得最小值x ₀ = (5)/(4)
下证x能达到最小值，根据题意不妨设y ₁ ＞y ₂ ，由（3）得

y 1 - y 2 =

3

y 1 + y 2 =±

2

由此解得y ₁ ，y ₂ ，由（1）解得x ₁ ，x ₂ ，所以x可取得最小值 (5)/(4) ．
相应的M点纵坐标 y 0 =(y1 + y2)/(2) =±(2)/(2)
∴M点坐标为 ((5)/(4) ，(2)/(2) )或((5)/(4) ，-(2)/(2) )