一个圆锥，它的底面直径和高均为2R（1）求这个圆锥的表面积和体积；（2）在该圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的侧面积最大？最大值是多少？

Question

一个圆锥，它的底面直径和高均为2R
（1）求这个圆锥的表面积和体积；
（2）在该圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的侧面积最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）体积：(1)/(3)sh=(1)/(3)πr²h=(2)/(3)πR³．
（2）如图，作出圆锥的轴截面，
设圆柱的高为h，
底面半径为r（0＜r＜R），体积为V，
则(h)/(2R)=(R−r)/(R)，
∴h=2（R-r），
∴V=πr²h=2πr²（R-r）．
=2πRr²-2πr³．
∴V′=4πRr-6πr²，
令V′=0，得r=(2)/(3)R，
∴当r=(2)/(3)R时，圆柱的体积V取得最大值，
此时圆柱的高h=2（R-(2)/(3)R）=(2)/(3)R．
圆柱的体积V的最大值：(8)/(27)πR3．