如图所示，半径R=0.45m的光滑14圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑的水平面上紧挨B点有一静止的小平板车，平板车质量M=2kg，长度为0.5m，小车的上表面与B点等高

Question

如图所示，半径R=0.45m 的光滑(1)/(4)圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑的水平面上紧挨B点有一静止的小平板车，平板车质量M=2kg，长度为 0.5m，小车的上表面与B点等高，距地面高度为0.2m．质量 m=1kg 的物块（可视为质点）从圆弧最高点A由静止释放．g 取10m/s²．试求：
（1）物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力；
（2）若将平板车锁定并且在上表面铺上一种特殊材料，其动摩擦因数从左向右随距离均匀变化如图乙所示，求物块滑离平板车时的速度；
（3）若撤去平板车的锁定与上表面铺的材料，此时物块与木板间的动摩擦因数为(8)/(15)，物块仍从圆弧最高点A由静止释放，请通过分析判断物块能否滑离平板车．若不能，请算出物块停在距平板车左端多远处；若能，请算出物块落地时距平板车右端的水平距离．

Answer 1

（1）物体从圆弧轨道顶端滑到B点的过程中，机械能守恒，则
mgR＝(1)/(2)mvB2，解得v_B=3m/s．
在B点由牛顿第二定律得，N-mg=m(vB2)/(R)
解得N=mg+m(vB2)/(R)=30N
即物块滑到轨道上B点时对轨道的压力N′=N=30N，方向竖直向下．
（2）物块在小车上滑行时的摩擦力做功Wf＝−(μ1mg+μ2mg)/(2)l＝−2J
从物体开始滑到滑离平板车过程中由动能定理得，mgR+Wf＝(1)/(2)mv2
解得v=√(5)m/s
（3）当平板车不固定时，对物块a1＝μg＝(16)/(3)m/s2．
对平板车a2＝(μmg)/(M)＝(8)/(3)m/s2
设物块与平板车经过时间t达到共同速度（物块在平板车最左端的速度v_C=v_B），有
v_c-a₁t=a₂t，解得t=(3)/(8)s
此时△s＝vct−(1)/(2)a1t2−(1)/(2)a2t2=(9)/(8)m＞0.5m，所以物块能滑离平板车．
设经过时间t₁物块滑离平板车，则vct1−(1)/(2)a1t12−(1)/(2)a2t12＝0.5m
解得t1＝(1)/(4)s（另一解t2＝(1)/(2)s＞(3)/(8)s舍去）
物块滑离平板车时的速度v_物=v_c-a₁t₁=(5)/(3)m/s．
此时平板车的速度v车＝a2t1＝(2)/(3)m/s．
物块滑离平板车做平抛运动的时间t3＝√((2h)/(g))＝0.2s
物块落地时距平板车右端的水平距离x=（v_物-v_车）t₃=0.2m．
答：（1）物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力为30N．
（2）物块滑离平板车时的速度√(5)m/s．
（3）能滑离平板车，物块落地时距平板车右端的水平距离为0.2m．