（2014•濮阳一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时

Question

（2014•濮阳一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意Rt△ABC≌Rt△AD，∠BAC=∠DAC，△ABO≌△ADO，
∴AC⊥BD．
而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，
又BD⊂面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系，
则B((√(3))/(2)，(1)/(2)，0)，D（0，1，0），C(√(3)，1，0)，设P（0，0，λ），
所以G((√(3))/(6)，(1)/(6)，(λ)/(3))，

PB

＝((√(3))/(2)，−(1)/(2)，−λ)，
由AG⊥PB得，

AG

•

PB

＝(

作业帮用户 2017-09-19

问题解析

第（1）问，要证平面PBD⊥平面PAC，只需证平面PBD经过平面PAC的一条垂线，观察可看出应选直线BD作为平面PAC的垂线，由PA垂直于底面可得PA垂直于BD，再根据底面ABCD中已知条件借助三角形全等可证AC垂直AC，则第一问可证；
第（2）问，先确定P点位置，利用几何法不容易分析，因此考虑建立空间直角坐标系，将之转化为坐标计算问题，通过解方程求出P点坐标，然后再利用向量法求二面角的大小．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

当二面角的平面角不好找或者不好求时，可以采用向量法，一般是先求出两个半平面的法向量，然后将二面角的大小转化为它们法向量之间的夹角，要注意结合图形判断二面角是钝角或是锐角，从而确定最终的结果．

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