重心是什么,推出的定理是什么、是怎么提的

Question

重心是什么,推出的定理是什么、是怎么提的

Answer 1

三角形的重心是各中线的交点,重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3
利用三角形的相似性可以很快得到证明.
△ABC,AB、BC、CA中点分别为D、E、F,交于一点G.
∴DF//BC,DF=BC/2 ①（中位线定理）.
∴△ADF∽△ABC,E为BC中点,∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC,BE=EC,∴DH=HF)
∴HF=DF/2 ,BE=BC/2,又可由①知HF=BE/2
∴HF//BE.
又∵∠BGE=∠FGH.
∴△BGE∽△FGH
∴BG/GF=BE/HF=2.
∴BG=（2/3）BF
同样,利用公边定理及三角形的等高可轻易求得三条中线分得的六个三角形面积相等,通过面积亦可证明.