物理学中的帕普斯重心定理是怎么证明的？定理阐述：若平面闭合曲线绕曲线外但在同一平面内的轴转动一周，则转出来的形体体积等于闭合曲线面积乘以其重心所经过的圆周。请问这是怎

Question

物理学中的帕普斯重心定理是怎么证明的？
定理阐述：若平面闭合曲线绕曲线外但在同一平面内的轴转动一周，则转出来的形体体积等于闭合曲线面积乘以其重心所经过的圆周。
请问这是怎么证明的？

Answer 1

可以用积分很容易的的证明出来。
以转轴为Z轴建立三维坐标系，坐标为z,r,e，r表示距离轴的距离，e表示角度。
那么体积可以表示为 [f(r)-g(r)]*2πr*dr 的积分，r在闭合曲线离轴的最远点与最近点之间积分。
f(r)是闭合曲线的上半个函数，减去g(r)就是曲线的高度，乘以后边的dr就是面积，再乘以2πr就是体积元，能想象出来吧？这时把2π提出来，看啊，里边的式子很像重心啊，除以闭合曲线的面积就是重心了。那么体积又可以表示为 面积乘以2π乘以重心，就是面积乘以重心所经过的圆周。