已知点ABC是不在同一直线上的三个点,O是平面ABC内一定点,P是△ABC内的一动点,若OP-OA-λ(AB+1/2BC)λ∈0,正无穷）,则P的轨迹一定过△ABC的A外心B内心C重心D垂心

Question

已知点ABC是不在同一直线上的三个点,O是平面ABC内一定点,P是△ABC内的一动点,若OP-OA-λ (AB+1/2BC)
λ ∈【0,正无穷）,则P的轨迹一定过△ABC的
A外心B内心C重心D垂心

Answer 1

：取AB的中点D,则 2OD=OA+OB,
∵OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC](λ∈R,
∴OP=13[（1-λ）（2OD）+（1+2λ） OC]
=2(1-λ)3OD+1+2λ3OC,
而2(1-λ)3+1+2λ3=1,
∴P、C、D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选C．