已知锐角△ABC的外接圆半径R=1,∠BAC=60°,△ABC的垂心和外心分别是H,O,连接OH并延长,交BC的延长线于点P.①求凹四边形ABHC的面积.②求PO▪OH的值.

Question

已知锐角△ABC的外接圆半径R=1,∠BAC=60°,△ABC的垂心和外心分别是H,O,连接OH并延长,
交BC的延长线于点P.①求凹四边形ABHC的面积.②求PO▪OH的值.

Answer 1

∠BOC=2∠A=120°,BC=√3,又∠ABE=∠ACF=30°,∠BFC=∠CEB=90°,于是∠BHC=∠BFC+∠EBF=120°,
即得BOHC四点共圆,于是∠POC=∠EBC,
而∠OCB=∠POC+∠P=30°,
因此∠HBC+∠P=30°,
又∠HBC+∠HCB=60°,
于是∠HBC+∠OCH=30°,
则∠OCH=∠P,有△OHC∽△OCP,
于是OH·OP=OC²=1.最后一问,过O作OM⊥BC于M,可得OM=0.5,
可以证明OM=AH/2,
于是S1+S2=(AH·BD+AH·CD)/2=AH·BC/2=OM·BC=√3/2.