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已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
题目详情
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
(1)求证:AE=2PE;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.

(1)求证:AE=2PE;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.

▼优质解答
答案和解析
(1)先由已知条件判断出△ADP∽△ABC,由相似三角形的对应边成比例即可得出
=
=
,再由∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP,再根据其对应边成比例即可求出答案;
(2)由△EPD∽△EAP,得
=
=
,进而可得出AE与DE的关系,作EH⊥AB,垂足为点H,由PD∥HE可得出
=
=
,进而可得出y与x的关系式;
(3)由△PEH∽△BAC,得
=
,当△BEP与△ABC相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°,由相似三角形的对应边成比例即可得出答案.
【解析】
(1)∵∠APD=∠C=90°,∠A=∠A,
∴△ADP∽△ABC,(1分)
∴
=
=
,(1分)
∵∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP,
∴△EPD∽△EAP.
∴
=
=
.(1分)
∴AE=2PE.(1分)
(2)由△EPD∽△EAP,得
=
=
,
∴PE=2DE,(1分)
∴AE=2PE=4DE,(1分)
作EH⊥AB,垂足为点H,
∵AP=x,
∴PD=
x,
∵PD∥HE,
∴
=
=
.
∴HE=
x.(1分)
又∵AB=2
,y=
(2
-x)•
x,即y=-
x2+
x.(1分)
定义域是0<x<
.(1分)
另【解析】
由△EPD∽△EAP,得
=
=
,
∴PE=2DE.(1分)
∴AE=2PE=4DE.(1分)
∴AE=
×
x=
x,(1分)
∴S△ABE=
×
x×2=
x,
∴
=
,即
=
,
∴y=-
x2+
x.(1分)
定义域是0<x<
.(1分)
(3)由△PEH∽△BAC,得
=
,
∴PE=
x•
=
x.(1分)
当△BEP与△ABC相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°.
(i)当∠BEP=90°时,
=
,
∴
=
.
解得x=
.(1分)
∴y=-
x×
×5+
×
=
.(1分)
(ii)当∠EBP=90°时,同理可得x=
,(1分)
y=
.(1分)



(2)由△EPD∽△EAP,得






(3)由△PEH∽△BAC,得


【解析】
(1)∵∠APD=∠C=90°,∠A=∠A,
∴△ADP∽△ABC,(1分)
∴



∵∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP,
∴△EPD∽△EAP.
∴



∴AE=2PE.(1分)
(2)由△EPD∽△EAP,得



∴PE=2DE,(1分)
∴AE=2PE=4DE,(1分)

作EH⊥AB,垂足为点H,
∵AP=x,
∴PD=

∵PD∥HE,
∴



∴HE=

又∵AB=2






定义域是0<x<

另【解析】
由△EPD∽△EAP,得



∴PE=2DE.(1分)
∴AE=2PE=4DE.(1分)
∴AE=



∴S△ABE=



∴




∴y=-


定义域是0<x<

(3)由△PEH∽△BAC,得


∴PE=



当△BEP与△ABC相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°.
(i)当∠BEP=90°时,


∴


解得x=

∴y=-





(ii)当∠EBP=90°时,同理可得x=

y=

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