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已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.

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已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
(1)求证:AE=2PE;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.

▼优质解答
答案和解析
(1)先由已知条件判断出△ADP∽△ABC,由相似三角形的对应边成比例即可得出==,再由∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP,再根据其对应边成比例即可求出答案;
(2)由△EPD∽△EAP,得==,进而可得出AE与DE的关系,作EH⊥AB,垂足为点H,由PD∥HE可得出==,进而可得出y与x的关系式;
(3)由△PEH∽△BAC,得=,当△BEP与△ABC相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°,由相似三角形的对应边成比例即可得出答案.
【解析】
(1)∵∠APD=∠C=90°,∠A=∠A,
∴△ADP∽△ABC,(1分)
==,(1分)
∵∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP,
∴△EPD∽△EAP.
==.(1分)
∴AE=2PE.(1分)
(2)由△EPD∽△EAP,得==
∴PE=2DE,(1分)
∴AE=2PE=4DE,(1分)
作EH⊥AB,垂足为点H,
∵AP=x,
∴PD=x,
∵PD∥HE,
==
∴HE=x.(1分)
又∵AB=2,y=(2-x)•x,即y=-x2+x.(1分)
定义域是0<x<.(1分)
另【解析】
由△EPD∽△EAP,得==
∴PE=2DE.(1分)
∴AE=2PE=4DE.(1分)
∴AE=×x=x,(1分)
∴S△ABE=×x×2=x,
=,即=
∴y=-x2+x.(1分)
定义域是0<x<.(1分)
(3)由△PEH∽△BAC,得=
∴PE=x•=x.(1分)
当△BEP与△ABC相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°.
(i)当∠BEP=90°时,=
=
解得x=.(1分)
∴y=-×5+×=.(1分)
(ii)当∠EBP=90°时,同理可得x=,(1分)
y=.(1分)
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