已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．

Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

Answer 1

（1）先由已知条件判断出△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出==，再由∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根据其对应边成比例即可求出答案；
（2）由△EPD∽△EAP，得==，进而可得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，垂足为点H，由PD∥HE可得出==，进而可得出y与x的关系式；
（3）由△PEH∽△BAC，得=，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
【解析】
（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC，（1分）
∴==，（1分）
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，
∴△EPD∽△EAP．
∴==．（1分）
∴AE=2PE．（1分）
（2）由△EPD∽△EAP，得==，
∴PE=2DE，（1分）
∴AE=2PE=4DE，（1分）
作EH⊥AB，垂足为点H，
∵AP=x，
∴PD=x，
∵PD∥HE，
∴==．
∴HE=x．（1分）
又∵AB=2，y=（2-x）•x，即y=-x²+x．（1分）
定义域是0＜x＜．（1分）
另【解析】
由△EPD∽△EAP，得==，
∴PE=2DE．（1分）
∴AE=2PE=4DE．（1分）
∴AE=×x=x，（1分）
∴S_△ABE=×x×2=x，
∴=，即=，
∴y=-x²+x．（1分）
定义域是0＜x＜．（1分）
（3）由△PEH∽△BAC，得=，
∴PE=x•=x．（1分）
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．
（i）当∠BEP=90°时，=，
∴=．
解得x=．（1分）
∴y=-x××5+×=．（1分）
（ii）当∠EBP=90°时，同理可得x=，（1分）
y=．（1分）