如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．（1）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：|PB|=|PD|．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．

（1）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：|PB|=|PD|．

Answer 1

证明：（1）因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为AC⊥PD，PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PBD…（4分）
（2）由（1）知AC⊥BD．
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC．
因为PO⊂平面PAC，
所以BD⊥PO．
因为底面ABCD是菱形，
所以|BO|=|DO|，
所以|PB|=|PD|．…（10分）