如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△DEF面积的最大值为33．

Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△DEF面积的最大值为

√(3)

√(3)

．

Answer 1

过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，
∴AD=CD=4，∠ADB=180°-∠BAD=120°，
∴∠FDG=180°-∠ADB=60°，
设AE=x，
∵AE+CF=4，
∴CF=4-x；
∴DE=AD-AE=4-x，DF=CD-CF=4-（4-x）=x，
在Rt△DFG中，FG=DF•sin∠GDF=(√(3))/(2)x，
∴S_△DEF=(1)/(2)DE•FG=(1)/(2)×（4-x）×(√(3))/(2)x=-(√(3))/(4)x²+√(3)x=-(√(3))/(4)（x²-4x）=-(√(3))/(4)（x-2）²+√(3)，
∴当x=2时，△DEF面积的最大，最大值为√(3)．
故答案为：√(3)．