如图,ABC是圆O的一条折弦,BC>AB,D是弧ABC的中点,DE垂直BC,垂足为E,求证CE=BE+AB

Question

如图,ABC是圆O的一条折弦,BC>AB,D是弧ABC的中点,DE垂直BC,垂足为E,求证 CE=BE+AB

Answer 1

在圆内有圆周角∠DFB=∠DBC=∠DAC,∠DCB=∠DAB,∠BCA=∠BDA,
∵D是ABC弧的中点,∴CD=AD,∠DCA=∠DAC,
∠DCA=∠DCB+∠BCA=∠DAC=∠DBC=DFB=∠DCB+∠CDF,∴∠BCA=∠CDF,
∴∠BDA=∠CDF,又∵CD=AD,DF=DB,∴三角形CDF≌三角形ADB,
∴CF=CE-EF=CE-BE=AB.