如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∵BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB=AC．（3分）
（2）证明：连接OD，
∵点O、D分别是AB、BC的中点，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．（6分）
（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB=BC=10，CD=(1)/(2)BC=5．
∵∠C=60°，
∴DE=CD•sin60°=(5√(3))/(2)．（9分）