在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a-b）sinB=asinA-csinC，且a2+b2-6（a+b）+18=0，则AB•BC+BC•CA+CA•AB=．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a-b）sinB=asinA-csinC，且a²+b²-6（a+b）+18=0，则

AB

•

BC

+

BC

•

CA

+

CA

•

AB

=______．

Answer 1

由已知（a-b）sinB=asinA-csinC，即asinA-csinC=（a-b）sinB，根据正弦定理，
得，a²-c²=（a-b）b，即a²+b²-c²=ab．
由余弦定理得cosC=(a2+b2−c2)/(2ab)=(1)/(2)．
又C∈（0，π）．所以C=(π)/(3)．
a²+b²-6（a+b）+18=0，可得（a-3）²+（b-3）²=0，
所以a=b=3，三角形是正三角形，

AB

•

BC

+

BC

•

CA

+

CA

•

AB

=3×3×3×cos120°=−(27)/(2)．
故答案为：−(27)/(2)．