在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，acosB+bcosA=2ccosC．（Ⅰ）求内角C；（Ⅱ）若a=3，c=7，求b．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，acosB+bcosA=2ccosC．
（Ⅰ）求内角C；
（Ⅱ）若a=3，c=√(7)，求b．

Answer 1

（Ⅰ）∵bcosA+acosB=2ccosC，①
由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）
将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，
化简，得sin（A+B）=sinC=2sinCcosC．（5分）
∵sinC≠0，
∴(1)/(2)，
∴C＝(π)/(3)．（7分）
（Ⅱ）∵a＝3，c＝√(7)，
由余弦定理得 cosC＝(a2+b2−c2)/(2ab)
即 (22+b2−(√(7))2)/(2×6b)＝(1)/(2)，
∴b＝3+2√(3)．（12分）