高数间断点问题设f(x)在R上连续,且f(x)不等于0,g(x)在R上有定义,且有间断点,则下列陈述中哪些是对的?(1)g[f(x)]必有间断点(2)[g(x)]^2必有间断点(3)f[g(x)]未必有间断点(4)g(x)\f(x)必有间断点请无论对

Question

高数间断点问题
设f(x)在R上连续,且f(x)不等于0,g(x)在R上有定义,且有间断点,则下列陈述中哪些是对的?
(1)g[f(x)]必有间断点
(2)[g(x)]^2必有间断点
(3)f[g(x)]未必有间断点
(4)g(x)\f(x)必有间断点
请无论对错都从定义上说明一下理由..不要只举一个例子反例就算了...

Answer 1

(1)错,g(x)有间断点,也就是其定义域被间断点分成了几部分,如果f（x）的
值域在这几部分中的某一部分中,他就没有间断点,如果f（x）的值域不只属于某一部分,比如属于两部分,则必定有间断点属于f（x)值域,此时就有间断点
（2）错,g(x)在R上有定义,其间断点必定是第一类的,比如x0是其间断点,
就拿跳跃间断点来说吧,跳跃则其两个极限不相等,比如+x0的极限,和-x0的极限,平方之后就有可能相等,比如两个极限互为相反数,平方后就相等,因此可能没有间断点
（3）对,f（x）的定义域为R,g(x)的值域必定属于R,因此一般情况,g（x）间断的那个点,f（g（x))也断开了,没断开举个反例,f（x）=1,g（x）=x
（x>=0),g(x)=x+1(x