9名数学家，每人至多会3种语言，每3人至少有两人能通话，（1）证明：至少有3人会同一种语言；（2）如果把9名改为8名数学家，（1）中结论还成立吗？

Question

9名数学家，每人至多会3种语言，每3人至少有两人能通话，
（1）证明：至少有3人会同一种语言；
（2）如果把9名改为8名数学家，（1）中结论还成立吗？

Answer 1

证明：（1）给9名数学家分别编为1～9号，
假设没有任意三个人会同一种语言．
令1号，2号，3号之间有2个语言相通的人（不妨令为1，2号）设为语言A，
剩余的1个人（3号）与4号，5号之间有2个语言相通的人（不妨令为3，4号）设为语言B，
剩余的1个人（5号）与6号，7号之间有2个语言相通的人（不妨令为5，6号）设为语言C，
剩余的1个人（7号）与8号，9号之间有2个语言相通的人（不妨令为7，8号）设为语言D，
于是得到四对语言相通的人（1，2），（3，4），（5，6），（7，8），
和另外一个人（9号）对四对语言不通的人．
任取通语言A、B之中的人各一个和对四对语言不通的人组成一组（不妨令为1，3号），
则1，3之间可以通话，且通话的语言不能为A，B，C，D，不妨令为语言E，
任取通语言A、C之中的人各一个和对四对语言不通的人组成一组（不妨令为1，5号），
则1，5之间可以通话，且通话的语言不能为A，B，C，D，E，不妨令为语言F，
任取通语言A、D之中的人各一个和对四对语言不通的人组成一组（不妨令为1，7号），
则1，7之间可以通话，且通话的语言不能为A，B，C，D，E，F，不妨令为语言G，
则1号数学家必须会A，E，E，F四种语言，
与“每人至多会3种语言”矛盾，假设不成立．
故至少有3人会同一种语言．
（2）如果把9名改为8名数学家，则（1）中的另外一个人（9号）对四对语言不通的人不存在．
故此时（1）中结论不成立．