如何证明(cosx)'=-sinx高数第六版,第2-1习题,第5题,怎么证明.只是记得这个公式,怎么用导数来证明

Question

如何证明(cosx)'=-sinx
高数第六版,第2-1习题,第5题,怎么证明.只是记得这个公式,怎么用导数来证明

Answer 1

由导数的定义:
(cos(x))' = lim{t → 0} (cos(x+t)-cos(x))/t
= lim{t → 0} -2sin(x+t/2)sin(t/2)/t (和差化积)
= -lim{t → 0} sin(x+t/2) · lim{t → 0} sin(t/2)/(t/2) (极限四则运算)
= -sin(x)·1 (sin(x)连续性,重要极限)
= -sin(x).