两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．

Question

两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时两条直线的方程．

Answer 1

（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=-3，则它们之间的距离为9．…（2分）
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为
l₁：y-2=k（x-6），l₂：y+1=k（x+3），
即l₁：kx-y-6k+2=0，l₂：kx-y+3k-1=0，…（4分）
∴d=(|3k-1+6k-2|)/(√(k2+1))=(3|3k-1|)/(√(k2+1))．
即（81-d²）k²-54k+9-d²=0．
∵k∈R，且d≠9，d>0，
∴△=（-54）²-4（81-d²）（9-d²）≥0，即0<d≤3√(10)且d≠9．…（9分）
综合①②可知，所求d的变化范围为（0，3√(10)]．
方法二：如图所示，显然有0<d≤|AB|．
而|AB|=√([6-(-3)]2+[2-(-1)]2)=3√(10)．
故所求的d的变化范围为（0，3√(10)]．
（2）由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．
而k_AB=(2-(-1))/(6-(-3))=(1)/(3)，
∴所求直线的斜率为-3．故所求的直线方程分别为
y-2=-3（x-6），y+1=-3（x+3），即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…（13分）