一条高中组合隔板法问题8个相同的小球放入编号分别为1234的盒子,每个盒子小球数目不限（可为0）,有多少种放法?怎么用隔板法做

Question

一条高中组合隔板法问题
8个相同的小球放入编号分别为1234的盒子,每个盒子小球数目不限（可为0）,有多少种放法?
怎么用隔板法做

Answer 1

答案为C（11,3）=165
详细讲解见下文：
例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必须放完,有多少种不同的方法?
分析：本题中的小球大小形状完全相同,故这些小球没有区别,问题等价于将小球分成三组,允许有若干组无元素,用隔板法.
解析：将20个小球分成三组需要两块隔板,因为允许有盒子为空,不符合隔板法的原理,那就人为的再加上3个小球,保证每个盒子都至少分到一个小球,那就符合隔板法的要求了.然后就变成待分小球总数为23个,球中间有22个空档,需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份,共有C（22,2）=231种不同的方法.
点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置）,允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组,允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组,需要m-1块隔板,将这n件物品和m-1块隔板排成一排,占n+m-1位置,从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法,再将物品放入其余位置,因物品相同无差别,故物品之间无顺序,是组合问题,只有1种放法,根据分步计数原理,共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法,因m-1块隔板将n件相同物品分成m块,从左到右可以看成每人所得的物品数,每一种隔板与物品的排法对应于一种分法,故有Cn+m-1 m-1种分法.