是否能将正整数1,2,3,4.2003,2004重新排列,使得任意连续10项的和能被10整除

Question

是否能将正整数1,2,3,4.2003,2004重新排列,使得任意连续10项的和能被10整除

Answer 1

我来试试吧...
答案是可以的,而且排列的方法相当多...
首先,以下命题是成立的：任意连续10个正整数之和可以被10整除
这条定理可以进行一定的拓宽：任意10个组成10的“完全剩余系”的10个数之和可以被10整除
（从模10的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模10的一个完全剩余系）说白了,就是10个数,它们除以10的余数正好包括了0~9,例如：30 1 12 3 14 25 36 7 88 9
显然,它们的和是可以被10整除的.
之后,我们用0a,1a,2a,3a,4a,5a,6a,7a,8a,9a表示一组模10的完全剩余系,0b~9b表示另一组完全剩余系,可以发现：0a,1a,2a,3a,4a,5a,6a,7a,8a,9a,0b,1b,2b,3b,4b,5b,6b,7b,8b,9b 这20个数中,任意连续10个数都是10的完全剩余系,因此可以被10整除.
所以,只要将1~2004按除以10的余数分类,之后按照0a~9a的完全剩余系的规律放置,便可以获得一组满足要求的解.
例如 ：将1和11换一下位置 11 2 3 ...9 10 1 12 13...2004
或者直接颠倒一下 2004 2003...2 1
这样都是可以的