设复数z的辐角主值为θ,θ∈(0,),且满足|z-i|=1.(1)求复数的辐角主值;(2)设z,z-i在复平面上的对应点分别为A,B,求△OAB的面积S的取值范围.
设复数z的辐角主值为θ,θ∈(0, ),且满足|z-i|=1.
(1)求复数 的辐角主值;
(2)设z,z-i在复平面上的对应点分别为A,B,求△OAB的面积S的取值范围.
解析:
解:(1)设z=r(cosθ+isinθ),∵|z-i|=1, ∴=1,∴r=2sinθ,∴z=sin2θ+,∴z-i=sin2θ+i=sin2θ-icos2θ=cos+isin,∴-zi=z·(z-i)的辐角是+3θ+2kπ(k∈Z).又因为θ∈. ∴当θ∈的辐角主值为时,. (2)由(1)知:|OA|=|z|=r=2sinθ;|OB|=|z-i|=1,且∠AOB=(θ+2π)-,∴S=|OA|·|OB|·sin∠AOB=·2sinθ·1·sin.∵θ∈,∴2θ∈.
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