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斜率为2的直线l被双曲线x^2/3
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斜率为2的直线l被双曲线x^2/3
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答案和解析
原题：斜率为2的直线l被双曲线x^2/3-y^2/2=1上截得弦长为4,求直线方程
y=2x+m
代入双曲线方程.
2x²-3(2x+m)²=6
2x²-12x²-12mx-3m²-6=0
10x²+12mx+(3m²+6)=0
x1+x2=-12m/10=-6m/5,x1x2=(3m²+6)/10
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=36m²/25-2(3m²+6)/5=(6m²-60)/25
(y1-y2)²=[(2x1+m)-(2x2+m)]²=4(x1-x2)²=4*(6m²-60)/25
所以AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=5*(6m^2-60)/25=4²
所以(6m²-60)/5=16
m²=70/3
m=±√210/3
所以y=2x+√210/3和y=2x-√210/3
y=2x+m
代入双曲线方程.
2x²-3(2x+m)²=6
2x²-12x²-12mx-3m²-6=0
10x²+12mx+(3m²+6)=0
x1+x2=-12m/10=-6m/5,x1x2=(3m²+6)/10
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=36m²/25-2(3m²+6)/5=(6m²-60)/25
(y1-y2)²=[(2x1+m)-(2x2+m)]²=4(x1-x2)²=4*(6m²-60)/25
所以AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=5*(6m^2-60)/25=4²
所以(6m²-60)/5=16
m²=70/3
m=±√210/3
所以y=2x+√210/3和y=2x-√210/3
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