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G为△ABC内一点,若GA向量+GB向量+GA向量=0,求证:点G是△ABC的重心
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G为△ABC内一点,若GA向量+GB向量+GA向量=0,求证:点G是△ABC的重心
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答案和解析
向量GA＋向量GB＋向量GC＝0,向量GA＋向量GB=-向量GC,
以向量GA,GB为边作平等四边形AGBE,
则向量GA＋向量GB=向量GE,
所以向量GE=-向量GC,G是公共点,所以E,G,C共线,
又因为GE是平等四边形AGBE的对角线,EG和AB的交点是AB的中点,
即CG是AB边上的中线,
同理AG是BC边上的中线,BG是AC边上的中线,
所以G是△ABC的重心
以向量GA,GB为边作平等四边形AGBE,
则向量GA＋向量GB=向量GE,
所以向量GE=-向量GC,G是公共点,所以E,G,C共线,
又因为GE是平等四边形AGBE的对角线,EG和AB的交点是AB的中点,
即CG是AB边上的中线,
同理AG是BC边上的中线,BG是AC边上的中线,
所以G是△ABC的重心
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