设向量a=(4cosA,sinA),b=(sinB,4cosB),c=(cosB,-4sinB)⑴若a与b-2c垂直,求tan(A+B)⑵求│b+c│的最大值⑶若tanAtanB=16,求证：向量a‖b

Question

设向量a=(4cosA,sinA),b=(sinB,4cosB),c=(cosB,-4sinB)
⑴若a与b-2c垂直,求tan(A+B)
⑵求│b+c│的最大值
⑶若tanAtanB=16,求证：向量a‖b

Answer 1

(1)向量a=（4cosa,sina）,b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8cosβ)
因为a与b-2c垂直,则a(b-2c)=0
所以4cosa（sinβ-2cosβ）+sina（4cosβ+8cosβ）=0
整理得4(sinacosβ+cosasinβ)-8(cosacosβ-sinasinβ)=0
即4sin(a+β)-8cos(a+β)=0得tan(a+β)=2
（2）向量b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ)
|b+c|=√(sinβ+cosβ)²+(4cosβ-4sinβ)²=√17-30sinβcosβ=√17-15sin2β
所以|b+c|的最大值为√17+15=√32=4√2
（3）由tanatanβ=16,得sinasinβ=16cosacosβ
即sinasinβ-4cosa4cosβ=0
所以a//b