已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且-2S2，S3，4S4成等差数列，则Sn+1Sn的最大值为136136．

Question

已知首项为(3)/(2)的等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列，则Sn+(1)/(Sn)的最大值为

(13)/(6)

(13)/(6)

．

Answer 1

设等比数列{a_n}的公比为q，
∵-2S₂，S₃，4S₄等差数列，
∴2S₃=-2S₂+4S₄，即S₄-S₃=S₂-S₄，
得2a₄=-a₃，∴q=-(1)/(2)，
∵首项为(3)/(2)，
∴Sn+(1)/(Sn)=1-(−(1)/(2))n+(1)/(1−(−(1)/(2))n)，
当n为奇数时，Sn+(1)/(Sn)=2+(1)/(2n(2n+1))，
当n为偶数时，Sn+(1)/(Sn)=2+(1)/(2n(2n−1))，
∴Sn+(1)/(Sn)随着n的增大而减小，
即Sn+(1)/(Sn)≤(13)/(6)，且Sn+(1)/(Sn)≤(25)/(12)，
综上，有Sn+(1)/(Sn)的最大值为(13)/(6)．
故答案为：(13)/(6)．