已知一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则这个等比数列的项数为多少?

Question

已知一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则这个等比数列的项数为多少?

Answer 1

设首项为1,等比为q,项数和为2n.
第二项为q,第三项为q²,第四项为q³.
那么偶数的项为q,q^3,.其公比为q²
基数项为1,q³.其公比也为q².
那么有前n项奇数的和为1*(1-q^2n)/(1-q²)③
偶数的前n项和为q*(1-q^2n)/(1-q²)④
由上面的34可以看到④/③=q=170/85=2
代入③看到85=(1-2^2n)/(1-4) 85*3=2^2n-1 2^2n=256=2^8 2n=8
所以它共有2n=8项