1-1/2+1/4-1/8+...+(-1)的n-1次方*1/2的(n-1)方,后面是它的通项求这个式子的和及它是发散还是收敛,还要求其极限值

Question

1-1/2+1/4-1/8+...+(-1)的n-1次方*1/2的(n-1)方,后面是它的通项
求这个式子的和及它是发散还是收敛,
还要求其极限值

Answer 1

a(n)=(-1)^(n-1)/2^(n-1),
{a(n)}是首项为1,公比为-1/2的等比数列.
s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)=[1-(-1/2)^n]/[1+1/2] = (2/3)[1+(-1)^n/2^n],
lim_{n->正无穷}1/2^n = 0.
|(-1)^n| = 1
所以,lim_{n->正无穷}(-1)^n/2^n=0.
lim_{n->正无穷}s(n)=(2/3)[1+0]=2/3.
收敛.