已知等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1=a，公比为q（q≠0且q≠1）．（1）推导证明：Sn=a(1-qn)1-q；（2）等比数列{an}中，是否存在连续的三项：ak、ak+1、ak+2，使得这三项成等差数列？若存在，求

Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=a，公比为q（q≠0且q≠1）．
（1）推导证明：S_n=(a(1-qn))/(1-q)；
（2）等比数列{a_n}中，是否存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列？若存在，求出符合条件的等比数列公比q的值，若不存在，说明理由；
（3）本题中，若a=q=2，已知数列{na_n}的前n项和T_n，是否存在正整数n，使得T_n≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，①
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ，②
①-②可得（1-q）S_n=a₁-a₁qⁿ，
当q≠1时，上式两边同除以1-q可得S_n=(a(1-qn))/(1-q)，…5分
（2）不存在存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列．
证明如下：若a_k、a_k+1、a_k+2成等差数列，则：2ak+1=ak+ak+2⇒ak(q2-q+1)=0
∵a_k≠0∴q²-q+1=0
而q2-q+1=(q-(1)/(2))2+(3)/(4)>0…8分
∴不存在存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列．…10分
（2）T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ                 ①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹　　　 ②
①-②得T_n=n×2ⁿ⁺¹-（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2…13分
由于T_n是递增的，当n=7时T7=6×28+2<2016；
当n=8时T8=7×29+2>211>2016．
所以存在正整数n，使得T_n≥2016的取值集合为{n|n≥8，n∈N₊}-…16分．