已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，{an}的部分项组成下列数列：ak1，ak2，…，akn，恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+…+kn．

Question

已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，{a_n}的部分项组成下列数列：a_k1，a_k2，…，a_kn，恰为等比数列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+k₃+…+k_n．

Answer 1

设{a_n}的首项为a₁，∵a_k1，a_k2，a_k3成等比数列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d）．
得a₁=2d，q=(ak2)/(ak1)=3．
∵a_kn=a₁+（k_n-1）d，又a_kn=a₁•3^n-1，
∴k_n=2•3^n-1-1．
∴k₁+k₂+…+k_n=2（1+3+…+3^n-1）-n
=2×(1−3n)/(1−3)-n=3ⁿ-n-1．