写出（1+i）10的二项展开式（i为虚数单位），并计算C101-C103+C105-C107+C109的值．

Question

写出（1+i） ¹⁰ 的二项展开式（i为虚数单位），并计算C ₁₀ ¹ -C ₁₀ ³ +C ₁₀ ⁵ -C ₁₀ ⁷ +C ₁₀ ⁹ 的值．

Answer 1

（1+i） ¹⁰ =C ₁₀ ¹⁰ +C ₁₀ ¹ i+C ₁₀ ² i ² +…+C ₁₀ ⁹ i ⁹ +C ₁₀ ¹⁰ i ¹⁰ ．
因为C ₁₀ ¹ -C ₁₀ ³ +C ₁₀ ⁵ -C ₁₀ ⁷ +C ₁₀ ⁹ 即为（1+i） ¹⁰ 的展开式中的虚部，
又（1+i） ¹⁰ =[（1+i） ² ] ⁵ =（2i） ⁵ =32i，
所以C ₁₀ ¹ -C ₁₀ ³ +C ₁₀ ⁵ -C ₁₀ ⁷ +C ₁₀ ⁹ =32．