已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1＞1，a4＞3，S3≤9，设bn＝1nan，则使b1+b2+…+bn＜99100成立的最大n值为（）A.97B.98C.99D.100

Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设bn＝(1)/(nan)，则使b1+b2+…+bn＜(99)/(100)成立的最大n值为（　　）
A. 97
B. 98
C. 99
D. 100

Answer 1

因为a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以：a₁+3d＞3，3a₂≤9⇒d＞(2)/(3)，a₁+d≤3⇒a₁≤3-d＜3-(2)/(3)=(7)/(3)=2(1)/(3)．
∵等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数
∴a₁=2；⇒(1)/(3)＜d≤1⇒d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=(1)/(n(n+1))=(1)/(n)−(1)/(n+1)．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1)=1-(1)/(n+1)=(n)/(n+1)
即(n)/(n+1)＜(99)/(100)⇒n＜99．故满足条件的最大n值为98．
故选B．