已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°．（1）如图：若∠BAC是锐角，则点F在边AC上，①求证：△BDE≌△ADC；②若DC=3，求AE的长；（2

Question

已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°．

（1）如图：若∠BAC是锐角，则点F在边AC上，
①求证：△BDE≌△ADC；
②若DC=3，求AE的长；
（2）若∠BAC是钝角，AE=1，求AC的长．

Answer 1

（1）①证明：∵AD⊥BC∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°，
同理：∠C+∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠DAC，
在△BDE和△ADC中

∠BDE＝∠ADC＝90°(已知)

BD＝AD(已证)

∠EBD＝∠DAC(已证)

，
∴△BDE≌△ADC（ASA），
②∵△BDE≌△ADC，
∴DC=DE，
∵DC=3，BD=AD=4，
∴AE=AD-DE=1；
（2）如备用图
同理：DC=DE，
BD=AD=4，AE=1，
DC=DE=AD+AE=5，
在Rt△ADC中，
则AC²=AD²+DC²，
∴AC=√(41)．