严格证明凸状偏好意味着平均消费束比端点的好端点的好

Question

严格证明凸状偏好意味着平均消费束比端点的好
端点的好

Answer 1

可以这么证：

1. 假设效用函数为u(x)，两个消费端点a和b.他们的平均消费点为(a+b)/2

2. 那么两个端点的效用分别为 u(a)和u(b)。而他们的平均点的效用为u((a+b)/2)。

3. 两个端点效用的平均值为[u(a)+u(b)]/2。

4. 因为效用函数是凸状的，所以[u(a)+u(b)]/2 <= u((a+b)/2)。这意味着平均消费比端点要好。

最后的第4步，如果要就非常精确的数学的话。可以用凸状函数的一阶导u'(x)和二阶导u"(x)来具体去写。不过好像要用到taylor expansion，比较麻烦。