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如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(3,0),C(0,2),点P是OA如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(3,0),C(0,2),点P是OA边上的动点(与点
题目详情
如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(3,0),C(0,2),点P是OA
如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(3,0),C(0,2),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(3,0),C(0,2),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:由翻折可知:△OPE≌△FPE,△ABP≌△DBP,
∴∠OPE=∠FPE,∠APB=∠DPB,又∠OPE+∠FPE+∠APB+∠DPB=180°,
∴∠EPB=∠EPF+∠DPB=∠OPE+∠APB=90°,又∠OPE+∠OEP=90°,
∴∠OEP=∠APB,又∠POE=∠BAP=90°,
∴△POE∽△BAP;
由(Ⅰ)知:△POE∽△BAP,
∴OP/AB=OE/AP,又OP=x,OE=y,故PA=4-x,AB=3,
即x/3=y/(4-x),化简得:y=1/3x(4-x)=-1/3x^2+4/3x,且0<x<4,
∴当x=-b/2a=-4/3/2×(-1/3)=2时,ymax=4ac-b^2/4a=4×(-1/3)×0-(4/3)^2/4×(-1/3)=4/3;
根据题意可知:△EOP和△PAB都为等腰直角三角形,且OP=OE=1,AP=AB=3,
则E(0,1),P(1,0),B(4,3),设过三点的抛物线解析式为:y=ax2+bx+c,
把三点坐标代入得:{c=1① a+b+c=0② 16a+4b+c=3③,
③-②×4得:12a-3c=3,把c=1代入解得:a=1/2,
把a=1/2,c=1代入②解得:b=-3/2,故y=1/2x^2-3/2x+1;
存在.
当点P为△EPQ的直角顶点时,由EP⊥PB,得到Q(4,3);
当点E为△EPQ的直角顶点时,过点E作EQ⊥EP,交抛物线与点Q,
由EQ∥PB,设直线PB的方程为:y=kx+b,
把P(1,0)和B(4,3)代入得:{k+b=0① 4k+b=3②,
②-①得:3k=3,解得:k=1,把k=1代入①得:b=-1,
所以直线PB的方程为:y=x-1,则直线EQ的斜率为1,
则直线EQ的方程为:y=x+m,把E(0,1)代入得:m=1,即直线EQ的方程为:y=x+1,
与抛物线解析式联立消去y得:x+1=1/2x^2-3/2x+1,即x(x-5)=0,解得:x=0或x=5,
把x=5代入直线EQ方程y=x+1得:y=6,故Q(5,6),
综上,满足题意的Q点的坐标为(4,3)或(5,6).
∴∠OPE=∠FPE,∠APB=∠DPB,又∠OPE+∠FPE+∠APB+∠DPB=180°,
∴∠EPB=∠EPF+∠DPB=∠OPE+∠APB=90°,又∠OPE+∠OEP=90°,
∴∠OEP=∠APB,又∠POE=∠BAP=90°,
∴△POE∽△BAP;
由(Ⅰ)知:△POE∽△BAP,
∴OP/AB=OE/AP,又OP=x,OE=y,故PA=4-x,AB=3,
即x/3=y/(4-x),化简得:y=1/3x(4-x)=-1/3x^2+4/3x,且0<x<4,
∴当x=-b/2a=-4/3/2×(-1/3)=2时,ymax=4ac-b^2/4a=4×(-1/3)×0-(4/3)^2/4×(-1/3)=4/3;
根据题意可知:△EOP和△PAB都为等腰直角三角形,且OP=OE=1,AP=AB=3,
则E(0,1),P(1,0),B(4,3),设过三点的抛物线解析式为:y=ax2+bx+c,
把三点坐标代入得:{c=1① a+b+c=0② 16a+4b+c=3③,
③-②×4得:12a-3c=3,把c=1代入解得:a=1/2,
把a=1/2,c=1代入②解得:b=-3/2,故y=1/2x^2-3/2x+1;
存在.
当点P为△EPQ的直角顶点时,由EP⊥PB,得到Q(4,3);
当点E为△EPQ的直角顶点时,过点E作EQ⊥EP,交抛物线与点Q,
由EQ∥PB,设直线PB的方程为:y=kx+b,
把P(1,0)和B(4,3)代入得:{k+b=0① 4k+b=3②,
②-①得:3k=3,解得:k=1,把k=1代入①得:b=-1,
所以直线PB的方程为:y=x-1,则直线EQ的斜率为1,
则直线EQ的方程为:y=x+m,把E(0,1)代入得:m=1,即直线EQ的方程为:y=x+1,
与抛物线解析式联立消去y得:x+1=1/2x^2-3/2x+1,即x(x-5)=0,解得:x=0或x=5,
把x=5代入直线EQ方程y=x+1得:y=6,故Q(5,6),
综上,满足题意的Q点的坐标为(4,3)或(5,6).
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