这个怎么证明啊?坐标平面上的三个整点,一定不能组成正三角形.

Question

这个怎么证明啊?
坐标平面上的三个整点,一定不能组成正三角形.

Answer 1

用反证法：假设存在坐标平面上的三个整点,组成了正三角形
则将其平移,将其一个顶点与坐标原点重合,则另两个顶点仍然是整点
设一个非原点的顶点M坐标为(a,b) ,另一个顶点为N(c,d), a、b、c、d都是整数
则MO的斜率=b/a,倾斜角=arctan(b/a)
则NO的倾斜角=arctan(b/a)+π/3
NO的斜率=(b/a+根号3)/(1-根号3*b/a)=(a根号3+b)/(a-b根号3)
|NO|=|MO|=根号(a^2+b^2)
所以c=根号(a^2+b^2)*(a-b根号3)/2根号(a^2+b^2)=(a-b根号3)/2
d=(a根号3+b)/2
因为a、b不全等于0,所以c和d至少有一个是无理数
这和c、d都是整数矛盾
所以坐标平面上的三个整点,一定不能组成正三角形