设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s2-t2=．

Question

设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s²-t²=______．

Answer 1

如图，作M关于BC的对称点M′与A的连线AM′与BC交点时PA+PM取最小值t，
当P与C重合时为最大值s=2+√(3)，
过A作AD⊥M′M交其延长线于D，易知M′D=3MH=(3√(3))/(2)，
又因为AD=(1)/(2)，所以PM+PA=PM′+PA=AM′=√(7)（勾股定理），
故s-t=2+√(3)-√(7)，
s²-t²=4√(3)．
故答案为：4√(3)．