在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足（如图1）.将△沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图2）（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求

Question

在正三角形 中， 、 、 分别是 、 、 边上的点，满足 （如图1）.将△ 沿 折起到 的位置，使二面角 成直二面角，连结 、 （如图2）
    
（Ⅰ）求证： ⊥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

Answer 1

在正三角形 中， 、 、 分别是 、 、 边上的点，满足 （如图1）.将△ 沿 折起到 的位置，使二面角 成直二面角，连结 、 （如图2）
    
（Ⅰ）求证： ⊥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

（Ⅰ）取BE的中点D，连结DF∵AE EB=CF FA=1 2，∴AF=AD=2，而∠A=60 ⁰ ,∴△ADF是正三角形，AE=DE=1，∴EF⊥AD，在图2中，A ₁ E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A ₁ EB为二面角A ₁ -EF-B的平面角．∴A ₁ E⊥BE∴A ₁ E⊥平面BEF，即A ₁ E⊥平面BEP（Ⅱ）

试题分析：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .

(I)在图1中，取BE的中点D，连结DF．
∵AE EB=CF FA=1 2，∴AF=AD=2，而∠A=60 ⁰ ,∴△ADF是正三角形，
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．    2分
在图2中，A ₁ E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A ₁ EB为二面角A ₁ -EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A ₁ E⊥BE．
又BE∩EF=E，∴A ₁ E⊥平面BEF，即A ₁ E⊥平面BEP．   .4分
(II)建立分别以ED、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),则, ．
设平面ABP的法向量为 ，
由 平面ABP知， ，即
令 ，得 ， ．
，设平面AFP的法向量为 ．
由 平面AFP知， ，即
令 ，得 ， ．
,
所以二面角B-A ₁ P-F的余弦值是                13分
点评：证明线面垂直主要通过已知中的垂直的直线来推理，其重要注意翻折前后保持不变的量；第二问二面角的求解充分把握好从点E出

作业帮用户 2017-10-03

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