如图，若ABCD是一个长方形，AB=2，AD=1，作点A关于对角线BD的对称点P，则PC等于（）A．345B．125C．255D．355

Question

如图，若ABCD是一个长方形，AB=2，AD=1，作点A关于对角线BD的对称点P，则PC等于（　　）

A．(3)/(4)√(5)
B．(1)/(2)√(5)
C．(2)/(5)√(5)
D．(3)/(5)√(5)

Answer 1

连接PD、AC，
∵AB与BP关于BD对称，
∴BD是AP的垂直平分线，
∴AD=DP=BC，
∴∠DPB=∠DCB=90°，
在△DPE与△BCE中，
DP=BC，∠DEP=∠BEC，∠DPE=∠DCB=90°，
∴Rt△DPE≌Rt△BCE，
∴PE=CE，DE=EB，
∴∠PCD=∠CDB，
∵∠AFD=∠PFC，∠CDB+∠AFD=90°，
∴∠AFD+∠PCD=90°，
∴∠APC=90°，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=1，
∴BD=√(AB2+AD2)=√(22+12)=√(5)，
∴AC=√(5)，
∵BD是AP的垂直平分线，
∴AG=PG，
∵BD•AG=AD•AB，即√(5)AG=2，AG=(2√(5))/(5)，
∴AP=2AG=(4√(5))/(5)，
在Rt△APC中，
PC=√(AC2−AP2)=√((√(5))2−((4√(5))/(5))2)=(3√(5))/(5)．
故选D．