如何证明整数个数与自然数一样多?这是我一门选修棵的题目谁帮帮我给一百分

Question

如何证明整数个数与自然数一样多?
这是我一门选修棵的题目 谁帮帮我给一百分

Answer 1

自然数个数和整数个数哪个多?
结论：一样多.
直观的说,一个整数集合总可以这样计数：
自然数 整数
1 1
2 -4
3 3
4 -5
5 0
抽象点的说:
由于：任意两个整数之间的整数个数是有限的,
对于任意一个整数集合（这个任意的整数集合当然可以是整数集本身）,
总可以构造一个该集合和自然数集合的一一满射,
故：两个集合的元素个数一样多.
从违反直觉之处看无穷的本质
从上面分析可以看出
对于“任意”一个整数集合,总可以构造一个该集合和自然数集合的一一满射.
即：无限的整数集和它的无限子集的元素个数相同.
这是违反直觉的.
比如整数集包括自然数集,除此之外还有其他无数元素,它们的元素个数怎么会相等呢?
让我们从头来分析计数的过程,从中我们可以看到无穷大的本质.
我们先讨论在一个有限集合中增加有限个新元素对计数产生的边际效应：
在一个有限集合中增加有限个新元素的计数,
实际上是在计数轴（自然数轴）上把该集合的计数值（边界）指向的位置向计数增大方向移动了有限个计数单位,
把新的边界减去旧的边界就是新增加的元素的个数,
所以,集合的有限子集的元素个数总是小于或等于集合的元素个数.
现在我们来讨论无穷集合的情况：
如果在一个无穷集合中增加有限个新元素对计数产生什么样的边际效应呢?
我们从上面分析有限集合的过程可以看出,
计数的边际效应分析关键是计数轴（自然数轴）上的定界问题,边界的移动就是计数的增减.
但是,无限的语义,就在于无法数完,这就是说,计数值在计数轴上“无法定界”,
从本质上来说,无限的语义包涵了,在计数轴的无穷端的状态（即无穷集合的计数方法）,其实是未知的.（这是一个需要进一步分析的认识论问题,详见后面分析,这里可以简单的说,无限端的状态是对人类认识能力不能达到的状态的抽象,因此,是未知的.）
因此,在一个无穷集合中增加有限个新元素对计数产生的边际效应,应该是“未知的”.
当然,为了分析方便（或者掩盖我们认识能力的缺陷）,我们可以“人为的规定”为“无边际效应”,就是无穷集合中加有穷多个新元素,集合中元素的个数不变.
在这个人为的规定下,我们可以得出这样的结论：
所有无限可列集合的元素个数相等,等于自然数集合的元素个数（数学上称为阿列夫零）.